Nombrosistemo sen nulo

La simbolo 0 (nulo) simbolas “neniom”. En malnovaj nombrosistemoj ne ekzistis nulo, kio igis tiujn sistemojn tre maloportunaj kun multaj simboloj kaj reguloj. Post la invento de la nulo oni ekuzis pozician nombrosistemon, en kiu la nulo montras, ke certa pozicio (la pozicio de unuoj, de dekoj, de centoj, de miloj...) estas malplena. Oni ofte asertas, ke nulo (aux samfunkcia simbolo) estas absolute necesa por pozicia nombrosistemo. Tiu ideo ne estas prava. Pozicia nombrosistemo povas ekzisti ankaux sen nulo. Jen estos prezentita tia nombrosistemo.

Oni komprenu la aferon gxuste. Mi neniel pretendas, ke sen-nula nombrosistemo estas pli bona ol la normala. Mi ankaux ne proponas gxin por praktika uzado. Mi nur volas montri, ke tia sistemo povas ekzisti, kaj ke gxi funkcius same bone kiel la ordinara.

Mi prezentos dekuman sistemon (sistemon kun dek ciferoj), sed eblas ankaux fari sen-nulajn nombrosistemojn duuman, triuman aux ajn-uman.

La simbolo 0 ja ankoraux devas ekzisti, sed gxi ne estas parto de la pozicia sistemo. Gxi ekzistas nur kiel speciala simbolo por la speciala kvanto “neniom”. Ankaux la tradicia sistemo havas tiajn apartajn simbolojn, ekz. la simbolon por nefinio, , kaj la simbolon pio, π (= 3,141592653589...). En mia sistemo 0 estas unu el tiuj apartaj simboloj. Same kiel la simboloj por nefinio kaj pio gxi ne estas cifero en mia sen-nula sistemo. Oni prefere nomu gxin ne “nulo”, sed “neniomo”.

Do, ek al sen-nula mondo!

Atentu: Se via legilo ne povas montri signojn en indicaj pozicioj (en levitaj kaj mallevitaj pozicioj) iuj el la cxi-postaj ciferaj ekzemploj estos detruitaj kaj nekompreneblaj por vi.]

La ciferoj

Mia sen-nula sistemo uzas la jenajn ciferojn:

1 = unu
2 = du
3 = tri
4 = kvar
5 = kvin
6 = ses
7 = sep
8 = ok
9 = naux
X = dek

Ekzistas do dek ciferoj, same kiel en la tradicia sistemo, sed anstataux la cifero 0 aperas la cifero X por dek. La aspekto de la nova cifero ja ne gravas. Mi pruntis X de la Romaj ciferoj (nepozicia sistemo), sed cetere mia sistemo havas nenion komunan kun la Romaj ciferoj.

Oni rimarku, ke 1 estas la unua cifero en la vico. Logike, cxu ne? La tradicia sistemo enhavas la strangajxon, ke la unua cifero estas 0, dum 1 estas la dua cifero. Tio foje kauxzas problemojn, cxar en iaj okazoj oni komencas numeradon per 0. Ekz. komputistoj ofte tion faras. Se ekz. oni ekscias, ke la lasta membro de ia aro aux serio havas la numeron 79, oni tiam ne povas scii, cxu la aro havas 79 aux 80 membrojn. Se la kalkulado komencigxis per 1, la aro havas 79 membrojn, sed se la nombrinto estas komputisto, li eble komencis per 0, kaj tiam la aro havas 80 membrojn. En mia sistemo la ebloj de tia konfuzo malaperas. (Efektive gxuste tiu konfuzo origine inspiris al elpensado de sen-nula nombrosistemo.)

Uzado de la ciferoj

Kie la du sistemoj malsamas, aperas traduko en la tradician sistemon per subaj ciferoj.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 1X
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 2X
30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 3X
40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 4X
50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 5X
60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 6X
70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 7X
80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 8X
90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 9X
100
X1
101
X2
102
X3
103
X4
104
X5
105
X6
106
X7
108
X8
108
X9
109
XX
110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 11X
120

Estas nenia problemo (krom cerbopaneo eble) dauxrigi la tabelon gxis kiom ajn. Neniuj novaj reguloj aux principoj estas uzataj. La sen-nula kalkulado funkcias laux la samaj poziciaj principoj kiel la ordinara. Per dek ciferoj sen nulo eblas esprimi cxiujn nombrojn de 1 gxis (malinkluzive) nefinio, same kiel per la ordinara sistemo.

Rimarku, ke la “salto” de nombroj unuciferaj al duciferaj, de duciferaj al triciferaj k.t.p., okazas en malsamaj lokoj en la du sistemoj. La tradicia sistemo saltas post 9, la sen-nula saltas nur post X.

Elparolo de nombroj

En iuj naciaj lingvoj vortoj por la nombroj kun X proponigxas pli-malpli per si mem. En ekz. la Angla mi supozas, ke oni spontane elparolus XX (= 110) kiel “tenty-ten”. En Esperanto tamen “dekdek dek” por XX ne funkcias tre bone. La problemo estas la kunmetoj “dudek”, “tridek” k.t.p. gxis “nauxdek” kaj nun ankaux “dekdek”. Oni bezonas iel distingi inter la cifero X kaj “dek” kiel “sufikso” por la pozicio de dekoj. Sxajnas plej oportune enkonduki novan vorton por la nova cifero X. La vorto “dek” reprezentu nur la pozicion de dekoj. “Dek” estu uzata ankaux en “dek unu”, “dek du” k.t.p., kie temas pri 1 en la pozicio de dekoj. “Dek” tie estas mallongigo de “unudek”. Por elparoli la novan ciferon X mi uzos cxi tie la vorton “ten”. Malamikoj de neologismoj ne maltrankviligxu. La tuta afero estas ja nur ludo. Nek la sen-nula nombrosistemo, nek la vorto “ten” estas serioze proponataj.

Ekzemploj de elparolo:

Sen-nule Normale
X = ten 10 = dek
11 = dek unu 11 = dek unu
1X = dek ten 20 = dudek
2X = dudek ten 30 = tridek
X1 = tendek unu 101 = cent unu
XX = tendek ten 110 = cent dek
11X = cent dek ten 120 = cent dudek
1XX = cent tendek ten 210 = dudent dek
9X9 = nauxcent tendek naux 1009 = mil naux
9XX = nauxcent tendek ten 1010 = mil dek
XXX = tencent tendek ten 1110 = mil cent dek
1111 = mil cent dek unu 1111 = mil cent dek unu
X11X = ten mil cent dek ten 10120 = dek mil cent dudek
99999X = nauxcent nauxdek naux mil naux cent nauxdek ten 1000000 = unu miliono
X99999 = tencent nauxdek naux mil nauxcent nauxdek naux 1099999 = unu miliono nauxdek naux mil nauxcent nauxdek naux
1111111 = unu miliono cent dek unu mil cent dek unu 1111111 = unu miliono cent dek unu mil cent dek unu

(Rimarku, ke milionuloj farigxus en sen-nula mondo “nauxcent-nauxdek-naux-mil-nauxcent-nauxdek-ten-uloj”! Eble tio estus forta bato kontraux kapitalismo...)

Dekumaj nombroj

La skribado de dekumaj onoj longe estis nesolvita problemo. Se trovigxis ciferoj ankaux en la pozicioj maldekstre de la on-komo, oni povis elturnigxi:

1,03 ,X3
23,005 22,9X5

Sed nombrojn kiel 0,01 aux 0,0003 simple ne eblis skribi.

La solvo estis enkonduko de specialaj indicoj. La on-komo estas speco de referenca montrilo. Maldekstre de la komo trovigxas la unuoj, dekstre trovigxas la dekonoj. Oni povas anstatauxigi la komon per malsupre skribita cifero 1, ekz. 112. Tiu cifero montras, ke maldekstre trovigxas la unua pozicio, la pozicio de unuoj. La dua pozicio estas la pozicio de dekoj, k.t.p. Dekstre de la indica 1 estas la unua ona pozicio, la pozicio de dekonoj. La dua ona pozicio estas la pozicio de centonoj, k.t.p. Normale oni ne bezonas skribi la indicon 1 se ne estas onoj, sed principe 11 = 1 kaj 2X1 = 2X k.t.p.

Dekstre de la indico trovigxas la onoj: 11 = 0,1 kaj 129 = 0,29. Rimarku, ke 1X1 = 1,01.

Kiel do skribi 0,101? X1 respondas al 101, sed ne eblas simple antauxmeti la indicon 1 (= komo), cxar 1X1 signifas 1,01. Kaj ne eblas skribi 10X1 cxar nulo ne ekzistas!

La solvo estas sxangxi la indicon al 2 kaj skribi 2X1. La indico 2 montras, ke dekstre de gxi trovigxas la dua ona pozicio, la pozicio de centonoj. Indico 3 montras, ke dekstre trovigxas la tria dekuma pozicio, la milonoj, kaj tiel plu. Tiamaniere oni povas tre oportune skribi tre malaltajn nombrojn. Ekz. 0,000000000000000000000001241. Tio tre similas al la tradicia skribo per eksponencialoj: 10-24. La subindicoj estas tamen pli oportunaj ol eksponencialoj. Ekz. 0,004 estas per eksponencialoj 4 × 10-3. Per subindicoj oni skribas simple 34.

Efektive subindicoj funkcias bonege ankaux por altaj nombroj. Anstataux 199999X (= 2000000 aux 2 × 106) oni povas skribi 27. (Rimarku, ke cxe altaj nombroj la eksponencialoj uzas 6 dum la subindicoj uzas 7. Cxe onoj tamen samas. Certe oni povas tion sxangxi iel, sed mi ankoraux ne emis.)

Matematikaj operacioj

Eblas senprobleme fari adicion, subtrahon, multiplikon, dividon k.t.p. per sen-nula sistemo. Sxajnas, ke oni povas uzi la samajn metodojn kiel en la ordinara sistemo. Vi povas mem provi la diversajn operaciojn per tiuj metodoj, kiujn vi lernis en la lernejo. Bonan amuzigxon!

Postskribo

Estas kuriozajxo en la sen-nula nombrosistemo, ke la vortoj “dek”, “cent”, “mil”, “miliono” k.t.p. neniam povas aperi solaj. La unua okazo de “dek” estas en “dek unu”, la unua apero de “cent” estas en “cent dek unu”, la unua de “mil” estas en “mil cent dek unu”, kaj “miliono” ne aperas antaux “unu miliono cent dek unu mil cent dek unu”.

En la tradicia sistemo la simpla “dek” estas la unua ducifera nombro, “cent” estas la unua tricifera, kaj tiel plu. Oni povus pripensi doni specialajn mallongajn nomojn al la respondaj okazoj en la sen-nula sistemo. La unua ducifera nombro estas tie 11, la unua tricifera estas 111, la unua kvarcifera estas 1111, k.t.p. Ili bezonas specialajn nomojn. Eble oni nomu ilin “dekumo”, “centumo” kaj “milumo”. Logike do 1111111 farigxas “milionumo”, kaj sekve la normalaj milionuloj (kiuj ja eknomigxis “nauxcent-nauxdek-naux-mil-nauxcent-nauxdek-tenuloj”) ekhavos konkurencon de milionumuloj, kiuj estas ecx pli ricxaj. Sen-nula nombrosistemo estas do bona almenaux por la ekonomio.

Bertilo Wennergren

(Verkita Decembre 1994. Iom reviziita kaj enretigita Oktobre 1998.)