El grafeiko

1. Formala difino de grafeo
2. Aplikoj de grafeoj
3. Ekstera prezento de grafeoj
4. Interna prezento de grafeoj
5. Arboj
6. La Konigsbergaj pontoj: problemo de Eŭlero

Formala difino de grafeo

Estu u, v∈V kaj e∈E; se veras P(u,e,v), tiam la verticoj u kaj v estas najbaraj; la eĝo e estas incida al v (iras al v) kaj u (iras el u); tial la predikaton P oni nomas incidpredikato. Ĉiu eĝo e apartenas al unu el la tri specoj:

Simetria eĝo

(∃x,y∈V)[x≠y ∧ P(x,e,y) ∧ P(y,e,x)].

Direkta eĝo

(∃x,y∈V)[x≠y ∧ P(x,e,y) ∧ ¬P(y,e,x)]; iuj aŭtoroj nomas tian eĝon arko.

Maŝo

(∃x∈V)P(x,e,x).

Aplikoj de grafeoj

Ekstera prezento de grafeoj

La grafeo

klarigas la ideon motivantan la terminojn «vertico» kaj «eĝo»; verdire, la pluredroj estas tre speciala okazo de grafeoj. Fakte la nocio «grafeo» ne estas apartenaĵo de la «kontinua matematiko»; la formala difino uzas nur tre ĝeneralajn nociojn de la arteorio (kp grafikaĵo), kaj krom la geometriajn oni ankaŭ uzas tute diskretajn prezentojn — ekz-e per incidmatrico. En tiu prezento la rilaton inter vertico v_i kaj eĝo e_j esprimas la elemento de matrico M[i,j] laŭ unu el la sekvaj okazoj:

0

v_i kaj e_j ne estas incidaj;

A

e_j estas direkta eĝo alvenanta en v_i;

D

e_j estas direkta eĝo deiranta el v_i;

M

e_j estas maŝo incida al v_i;

S

e_j estas simetria eĝo incida al v_i.

	1	2	3	4	5	6	7
u	M	M	M	D	0	0	D
v	0	0	0	A	D	S	0
w	0	0	0	0	A	S	A

Estu R libera duonringo kun la generantaro

{0,A,D,M,S}

kaj M^Testu la transponaĵo de M. Tiam la kvadrata matrico B=M⋅M^T super R estas la vertica najbarmatrico, dum H=M^T⋅M estas la eĝa najbarmatrico. Tiu dua estas uzata multe pli malofte ol la unua, tial per senadjektiva «najbarmatrico» oni kutime nomas la vertican najbarmatricon.

En la praktiko grafeoj ofte estas prezentataj per listoj aŭ ligillistoj (Interna prezento de grafeoj); ankaŭ vd duuma arbo.

La dirita ne signifas, ke la grafea problemaro ne estas rilatigebla al geometrio; ekz-e, oni povus konsideri problemon tre interesan por la praktiko: ĉu donita grafeo desegneblas tiel, ke la linipecoj prezentantaj diversajn eĝojn ne interkruciĝas — t.e. ĉu la grafeo estas ebena grafeo; ekz-e la grafeo estas ebena, dum

estas neebena.

Grafeo estas n-obleĝa, aŭ n-grafeo, se neniajn du ĝiajn verticojn ligas pli ol n eĝoj, t.e. por ĉiuj u,v∈V veras

|{e∈E: P(u,e,v)∨P(v,e,u)}| ≤ n. 

Por la direktaj grafeoj oni nombras nur la samdirektajn eĝojn:

|{e∈E: P(u,e,v)}| ≤ n. 

Speciale menciindas nulgrafeo (aŭ 0-grafeo, vakua grafeo), unugrafeo kaj plurgrafeo (n-grafeo kiu ne estas 1-grafeo, n>1; ekz-e ). Kutime oni identigas izomorfajn grafeojn.

Rim. Iuj aŭtoroj simpligas la difinon de grafeo, reduktante grafeon al duloka rilato (t.e. difinas eĝon kiel verticduopon); tio malebligas la plurgrafeojn, kiuj ja estas uzataj por priskribi aŭtomatojn, gramatikojn (vd sintaksa diagramo) ktp; la problemo pri la Konigsbergaj pontoj, de kiu komenciĝis grafeiko, kondukas al 2-grafeo (vd La Konigsbergaj pontoj). Kp arbo, hamako, kompleta grafeo, koneksa grafeo, reto, subgrafeo, supergrafeo, vojo.